【典型例題】例1.若關于x的方程(a+1)(a-1)x2-(13a-5)x+36=0的解都是整數(shù)，求所有符合條件的整數(shù)a的值。

【分析】當方程為一元二次方程時，用因式分解法易得根的表達式，然后利用整除性分析求出符合條件的整數(shù)a.

【點評】因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論。

例2.設a,b均為整數(shù)，求證：關于x的方程x2+10ax+5b+3=0,x2+10ax+5b-3=0均無整數(shù)根。

【分析】可直接從判別式入手，分析其個位數(shù)字的特征，得到判別式不可能是平方數(shù)，從而證明方程均無整數(shù)根。

【點評】一元二次方程有有理根的條件：Δ=b2-4ac為平方數(shù).而完全平方數(shù)的末尾數(shù)字只能是0, 1,4, 5, 6, 9.

例3.當整數(shù)k為何值時，關于x的一元二次方程x2+(k-1)x+k-1=0有兩個有理根.

【分析】一個整系數(shù)的一元二次方程有有理根，那么它的判別式一定是平方數(shù)。

【點評】一元二次方程有理根問題通�？赊D(zhuǎn)化為二元二次不定方程的整數(shù)根問題進行求解。

例4.已知關于x的方程mx2+(m+1)x+m-1=0的根是整數(shù)，求實數(shù)m的值.

【分析】可根據(jù)韋達定理得到兩根之和與積，通過消去參數(shù)m轉(zhuǎn)化為關于x1,x2的不定方程整數(shù)根問題進行求解。

【點評】通過韋達定理得到關于兩根的不定方程是解決方程整數(shù)根問題的常用方法。

例5.已知關于x的方程x2+px+q4=0有兩個不相等的整數(shù)根，p,q都是素數(shù)，求這個方程的根。

【分析】根據(jù)韋達定理，結合p,q都是素數(shù)逐步確定p,q的值。

【點評】當方程的根是整數(shù)，參數(shù)是素數(shù)時，一般可以借助韋達定理求解。

例6.試求出所有這樣的正整數(shù)a,使得關于x的一元二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一個整數(shù)根。

【分析】利用判別式為完全平方數(shù)更換參數(shù)，再結合整除性分析求解。

【點評】本題也可把a當作未知數(shù)，x看作系數(shù)進行更換主元，這種“反客為主”的方法，具有化難為易，化繁為簡之功效。

例7.已知關于x的方程x2+bx+c=0及x2+cx+b=0分別各有兩個整數(shù)根x1,x2和x'1,x'2且x1x2> 0,x'1x'2> 0.(1)求證：x1<0,x2<0,x'1<0,x'2<0;(2)求證：b-1≤c≤b+1;(3)求b,c所有可能的值.

【分析】(1)利用韋達定理進行判斷;(2)利用根與系數(shù)的關系和整數(shù)根分別證明b-1≤c和c≤b+1;(3)根據(jù)(2)中b-1≤c≤b+1,分c=b+1,c=b,c=b-1三種情況進行求解.

【點評】再次體現(xiàn)了韋達定理在解決方程整數(shù)根問題中的重要性。

例8.已知函數(shù)y=x2+bx-c的圖象經(jīng)過兩點P(1,a),Q(2, 10a),且與x軸的交點A,B的橫坐標都是整數(shù)，與y軸的交點為C. 求ΔABC的面積。

【分析】如果還沒有學習二次函數(shù)，但這里只用到函數(shù)圖象的基本概念，即P,Q坐標滿足函數(shù)，A,B兩點橫坐標就是方程x2+bx-c=0的兩個根，依題意這是兩個整數(shù)根.

【點評】韋達定理解決一元二次方程整數(shù)根時，常常需要將兩根和與兩根積相加或相減，使組成的多項式可以分組分解，這樣有利于求整數(shù)根。

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