全等三角形

性質(zhì)：

(1)全等三角形的對應邊相等、對應角相等。

(2)全等三角形的周長相等、面積相等。

(3)全等三角形的對應邊上的對應中線、角平分線、高線分別相等。

全等三角形的判定：

①邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。

②角邊角公理(ASA) 有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。

③推論(AAS) 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。

④邊邊邊公理(SSS) 有三邊對應相等的兩個三角形全等。

⑤斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。

方法總結(jié)：

出現(xiàn)兩等邊三角形、兩等腰直角三角形通常用 SAS 證全等;

等腰直角三角形常見輔助線添法--連結(jié)直角頂點和斜邊中點;

兩直角三角形證全等常用方法：SAS,AAS,HL;出現(xiàn)等腰直角三角形或正方形可能用到 K 型全等。

角平分線

性質(zhì)定理：

角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

判定定理：

到角兩個邊距離相等的點在這個角的角平分線上。

拓展：三角形三個角的角平分線的交點到三條邊的距離相等。

角平分線通常用于求點到直線距離、三角形面積角度。

拓展三個概念：

重心：

三角形中線的交點，重心分中線上下比為2:1。

內(nèi)心：

三角形角平分線的交點，內(nèi)心到三邊的距離相等。

外心：

三角形垂直平分線的交點，外心到三個頂點的距離相等。

角平分線常見的四種輔助線做法：

①如下圖，由角的平分線上的一點向角的一邊或兩邊作垂線，可以用角的平分線性質(zhì)定理解題;

② 如下圖，以角的平分線為軸，將圖形翻折，在角的平分線兩側(cè)構(gòu)造全等三角形，使已知與結(jié)論發(fā)生關(guān)系出現(xiàn)新的條件;

③ 如下圖，當題設(shè)有角平分線及與角平分線垂直的線段，可延長這條線段與角的另一邊相交，構(gòu)成等腰三角形， 利用等腰三角形的“三線合一” 性質(zhì)證題;

④如下圖，過角的一邊上的點，作另一邊的平行線，構(gòu)成等腰三角形——“角平分線+平行，必出等腰 ”

垂直平分線

性質(zhì)定理：

線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等。

如何判定：

到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。

拓展：

三角形三條邊的垂直平分線的交點到三個頂點的距離相等。

相關(guān)方法總結(jié)：

出現(xiàn)一點到兩點距離相等的題型，一般要用到垂直平分線;

題中看到線段垂直平分線，要想到垂直平分線垂直且平分線段，垂直平分線上點到線段兩端點距離相等，相等邊所對應角相等;

翻折題型中常用到垂直平分線、勾股定理。

等腰三角形

性質(zhì)定理：

等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角)

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合(三線合一)

判斷：一個三角形的兩個相等的角所對的邊也相等(等角對等邊)

等邊三角形

性質(zhì)定理：

等邊三角形的三條邊都相等;

等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，都等于60度。等邊三角形的每一條邊都能運用三線合一這一性質(zhì)。

判斷定理：

三條邊都相等的三角形是等邊三角形;

三個角都相等的三角形是等邊三角形;

有兩個角是 60°的三角形是等邊三角形;

有一個角是 60°的等腰三角形是等邊三角形。

方法總結(jié)：出現(xiàn)等腰三角形通常要分類討論，在選擇題和填空題中，切勿因為沒有分類討論而導致搞錯答案。

直角三角形和勾股定理

有一個角是直角的三角形是直角三角形，在直角三角形中，斜邊中線等于斜邊的一半;

30度所對的直角邊等于斜邊的一半;直角三角形常用面積法求斜邊上的高。

勾股定理：

直角三角形兩直角邊 a，b 的平方和等于斜邊 c 的平方，即 a2+b2=c2。

勾股數(shù)一定是正整數(shù)，常見勾股數(shù)：

3,4,5;

5,12,13;

6,8,10,;

7,24,25;

8,15,17;

9,12,15。

方法總結(jié)：

當不明確直角三角形的斜邊長，應把已知最長邊分為直角邊和斜邊兩種情況討論。

無理數(shù)在數(shù)軸上的表示和線段長表示通常用到勾股定理。

翻折題型常用勾股定理(口訣：翻折求邊找直角，勾股定理設(shè)未知量)

如果三角形的三邊長 a，b，c 有關(guān)系 a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理，常用于判斷三角形的形狀，先確定最大邊(可以設(shè)為c)

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