第三章：方程和方程組

一、方程有關(guān)概念

1、方程：

含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解：

使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方程的解，含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：

求方程的解或方判斷方程無(wú)解的過(guò)程叫做解方程。

4、方程的增根：

在方程變形時(shí)，產(chǎn)生的不適合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程

1、一元一次方程

(1)一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=0(其中×是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，a≠0)

(2)一元一次方程的最簡(jiǎn)形式：ax=b(其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，a≠0)

(3)解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)和系數(shù)化為1。

2、一元二次方程

(4)一元一次方程有唯一的一個(gè)解。(1)一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(其中x是未知數(shù)，a、b、c是已知數(shù)，a≠0)(2)一元二次方程的解法：直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法。(3)一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如沒(méi)有要求，一般不用配方法。

(4)一元二次方程的根的判別式：△=b2-4ac

當(dāng)△>0時(shí)←→方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

當(dāng)△=0時(shí)←→方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0時(shí)←→方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，無(wú)解;當(dāng)△≥0時(shí)←→方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。(5)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，那么：x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a。(6)以?xún)蓚�(gè)數(shù)x1、x2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是：x2-(x1+x2)x+x1·x2=0

三、分式方程

1、定義：

分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

2、分式方程的解法：

一般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母。

特殊方法：換元法。

3、檢驗(yàn)方法：

一般把求得的未知數(shù)的值代入最簡(jiǎn)公分母，使最簡(jiǎn)公分母不為0的就是原方程的根;使得最簡(jiǎn)公分母為0的就是原方程的增根，增根必須舍去，也可以把求得的未知數(shù)的值代入原方程檢驗(yàn)。

四、方程組

1、方程組的解：

方程組中各方程的公共解叫做方程組的解。

2、解方程組：

求方程組的解或判斷方程組無(wú)解的過(guò)程叫做解方程組

3、一次方程組：

(1)二元一次方程組：

一般形式：

(a1，a2，b1，b2，c1，c2不全為0)

解法：代入消遠(yuǎn)法和加減消元法

解的個(gè)數(shù)：有唯一的解，或無(wú)解，當(dāng)兩個(gè)方程相同時(shí)有無(wú)數(shù)的解。

4、二元二次方程組：

(2)三元一次方程組：解法：代入消元法和加減消元法(1)定義：由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組以及由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組叫做二元二次方程組。

(2)解法：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，或者降次，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組。

考點(diǎn)與命題趨向分析

（一）一元二次方程的解法

特殊方程：

(1)用直接開(kāi)方法解;

(2)用公式法;

(3)用因式分解法

[規(guī)律總結(jié)]如果一元二次方程形如(x+m)2=n(n≥0)，就可以用直接開(kāi)方法來(lái)解;利用公式法可以解任何一個(gè)有解的一元二次方程，運(yùn)用公式法解一元二次方程時(shí)，一定要把方程化成一般形式。

一般方程：

(1);先化為一般形式，再用公式法解;

(2)直接可以十字相乘法因式分解后可求解。

[規(guī)律總結(jié)]對(duì)于帶字母系數(shù)的方程解法和一般的方程沒(méi)有什么區(qū)別，在用公式法時(shí)要注意判斷△的正負(fù)。

（二）分式方程的解法：

分析：(1)用去分母的方法;(2)用換元法解。

[規(guī)律總結(jié)]一般的分式方程用去分母法來(lái)解，一些具有特殊關(guān)系如：有平方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系等的分式方程，可采用換元法來(lái)解。

（三）根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

規(guī)律總結(jié)1：對(duì)于根的判別式的三種情況要很熟練，還有要特別留意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0。

規(guī)律總結(jié)2：此類(lèi)題目可以先解出第一方程的兩個(gè)解，但有時(shí)這樣又太復(fù)雜，用根與系數(shù)的關(guān)系就比較簡(jiǎn)單。

（四）方程組

分析1：(1)用加減消元法消x較簡(jiǎn)單;(2)應(yīng)該先用加減消元法消去y,變成二元一次方程組，較易求解。

[規(guī)律總結(jié)]加減消元法是最常用的消元方法，消元時(shí)那個(gè)未知數(shù)的系數(shù)最簡(jiǎn)單就先消那個(gè)未知數(shù)。

分析2：(1)可用代入消元法，也可用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)求解;(2)要先把第一個(gè)方程因式分解化成兩個(gè)二元一次方程，再與第二個(gè)方程分別組成兩個(gè)方程組來(lái)解。

[規(guī)律總結(jié)]對(duì)于一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組一般用代入消元法，對(duì)于兩個(gè)二元二次方程組成的方程組，一定要先把其中一個(gè)方程因式分解化為兩個(gè)一次方程再和第二個(gè)方程組成兩個(gè)方程組來(lái)求解。

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