線(xiàn)、角、相交線(xiàn)、平行線(xiàn)

規(guī)律1

如果平面上有n(n≥2)個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在同一直線(xiàn)上，那么每?jī)牲c(diǎn)畫(huà)一條直線(xiàn)，一共可以畫(huà)出n(n-1)條。

規(guī)律2

平面上的n條直線(xiàn)最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕個(gè)部分。

規(guī)律3

如果一條直線(xiàn)上有n個(gè)點(diǎn)，那么在這個(gè)圖形中共有線(xiàn)段的條數(shù)為n(n-1)條。

規(guī)律4

線(xiàn)段(或延長(zhǎng)線(xiàn))上任一點(diǎn)分線(xiàn)段為兩段，這兩條線(xiàn)段的中點(diǎn)的距離等于線(xiàn)段長(zhǎng)的一半。

規(guī)律5

有公共端點(diǎn)的n條射線(xiàn)所構(gòu)成的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)一共有n(n-1)個(gè)。

規(guī)律6

如果平面內(nèi)有n條直線(xiàn)都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，則可構(gòu)成小于平角的角共有2n(n-1)個(gè)。

規(guī)律7

如果平面內(nèi)有n條直線(xiàn)都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，則可構(gòu)成n(n-1)對(duì)對(duì)頂角。

規(guī)律8

平面上若有n(n≥3)個(gè)點(diǎn)，任意三個(gè)點(diǎn)不在同一直線(xiàn)上，過(guò)任意三點(diǎn)作三角形一共可作出n(n-1)(n-2)個(gè)。

規(guī)律9

互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角平分線(xiàn)所成的角的度數(shù)為90°。

規(guī)律10

平面上有n條直線(xiàn)相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n(n-1)個(gè)。

規(guī)律11

互為補(bǔ)角中較小角的余角等于這兩個(gè)互為補(bǔ)角的角的差的一半。

規(guī)律12

當(dāng)兩直線(xiàn)平行時(shí)，同位角的角平分線(xiàn)互相平行，內(nèi)錯(cuò)角的角平分線(xiàn)互相平行，同旁?xún)?nèi)角的角平分線(xiàn)互相垂直。

規(guī)律13

已知AB∥DE,如圖⑴～⑹,規(guī)律如下：

規(guī)律14

成“8”字形的兩個(gè)三角形的一對(duì)內(nèi)角平分線(xiàn)相交所成的角等于另兩個(gè)內(nèi)角和的一半。

三角形部分

規(guī)律15

在利用三角形三邊關(guān)系證明線(xiàn)段不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來(lái)，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)造三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線(xiàn)段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再利用三邊關(guān)系定理及不等式性質(zhì)證題。

注意：利用三角形三邊關(guān)系定理及推論證題時(shí)，常通過(guò)引輔助線(xiàn)，把求證的量(或與求證有關(guān)的量)移到同一個(gè)或幾個(gè)三角形中去然后再證題。

規(guī)律16

三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)與一個(gè)外角平分線(xiàn)相交所成的銳角，等于第三個(gè)內(nèi)角的一半。

規(guī)律17

三角形的兩個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)相交所成的鈍角等于90o加上第三個(gè)內(nèi)角的一半。

規(guī)律18

三角形的兩個(gè)外角平分線(xiàn)相交所成的銳角等于90o減去第三個(gè)內(nèi)角的一半。

規(guī)律19

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作高線(xiàn)和角平分線(xiàn)，它們所夾的角等于三角形另外兩個(gè)角差(的絕對(duì)值)的一半。

注意：同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)幾何時(shí)，可以把自己證完的題進(jìn)行適當(dāng)變換，從而使自己通過(guò)解一道題掌握一類(lèi)題，提高自己舉一反三、靈活應(yīng)變的能力。

規(guī)律20

在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來(lái)，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形外角的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題。

規(guī)律21

有角平分線(xiàn)時(shí)常在角兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形。

規(guī)律22

有以線(xiàn)段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段時(shí)，常加倍延長(zhǎng)此線(xiàn)段構(gòu)造全等三角形。

規(guī)律23

在三角形中有中線(xiàn)時(shí)，常加倍延長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造全等三角形。

規(guī)律24

截長(zhǎng)補(bǔ)短作輔助線(xiàn)的方法

截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線(xiàn)段上截取一條線(xiàn)段等于較短線(xiàn)段;

補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線(xiàn)段和較長(zhǎng)線(xiàn)段相等.

這兩種方法統(tǒng)稱(chēng)截長(zhǎng)補(bǔ)短法。

當(dāng)已知或求證中涉及到線(xiàn)段a、b、c、d有下列情況之一時(shí)用此種方法：

①a>b

②a±b= c

③a±b= c±d

規(guī)律25

證明兩條線(xiàn)段相等的步驟：

①觀(guān)察要證線(xiàn)段在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，然后證這兩個(gè)三角形全等。

②若圖中沒(méi)有全等三角形，可以把求證線(xiàn)段用和它相等的線(xiàn)段代換，再證它們所在的三角形全等。

③如果沒(méi)有相等的線(xiàn)段代換，可設(shè)法作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形。

規(guī)律26

在一個(gè)圖形中，有多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)，常用同角(等角)的余角相等來(lái)證明兩個(gè)角相等。

規(guī)律27

三角形一邊的兩端點(diǎn)到這邊的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)的距離相等。

規(guī)律28

條件不足時(shí)延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形。

規(guī)律29

連接四邊形的對(duì)角線(xiàn)，把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形來(lái)解決問(wèn)題。

規(guī)律30

有和角平分線(xiàn)垂直的線(xiàn)段時(shí)，通常把這條線(xiàn)段延長(zhǎng)�？蓺w結(jié)為“角分垂等腰歸”。

規(guī)律31

當(dāng)證題有困難時(shí)，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點(diǎn)連接起來(lái)構(gòu)造全等三角形。

規(guī)律32

當(dāng)證題缺少線(xiàn)段相等的條件時(shí)，可取某條線(xiàn)段中點(diǎn)，為證題提供條件。

規(guī)律33

有角平分線(xiàn)時(shí)，常過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)向角兩邊做垂線(xiàn)，利用角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊距離相等證題。

規(guī)律34

有等腰三角形時(shí)常用的輔助線(xiàn)

⑴作頂角的平分線(xiàn)，底邊中線(xiàn)，底邊高線(xiàn)

⑵有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線(xiàn)

⑶將腰延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造直角三角形解題

⑷常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線(xiàn)

⑸常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線(xiàn)

⑹常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形------等邊三角形

規(guī)律35

有二倍角時(shí)常用的輔助線(xiàn)

⑴構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角

⑵平分二倍角

⑶加倍小角

規(guī)律36

有垂直平分線(xiàn)時(shí)常把垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與線(xiàn)段兩端點(diǎn)連結(jié)起來(lái)。

規(guī)律37

有垂直時(shí)常構(gòu)造垂直平分線(xiàn)。

規(guī)律38

有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線(xiàn)。

規(guī)律39

當(dāng)涉及到線(xiàn)段平方的關(guān)系式時(shí)常構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理證題。

規(guī)律40

條件中出現(xiàn)特殊角時(shí)常作高把特殊角放在直角三角形中。

四邊形部分

規(guī)律41

平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長(zhǎng)的一半。

規(guī)律42

平行四邊形被對(duì)角線(xiàn)分成四個(gè)小三角形，相鄰兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之差等于鄰邊之差。

規(guī)律43

有平行線(xiàn)時(shí)常作平行線(xiàn)構(gòu)造平行四邊形。

規(guī)律44

有以平行四邊形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段時(shí)常延長(zhǎng)此線(xiàn)段。

規(guī)律45

平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)到一組對(duì)邊距離相等。

規(guī)律46

平行四邊形一邊(或這邊所在的直線(xiàn))上的任意一點(diǎn)與對(duì)邊的兩個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)所構(gòu)成的三角形的面積等于平行四邊形面積的一半。

規(guī)律47

平行四邊形內(nèi)任意一點(diǎn)與四個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)所構(gòu)成的四個(gè)三角形中，不相鄰的兩個(gè)三角形的面積之和等于平行四邊形面積的一半。

規(guī)律48

任意一點(diǎn)與同一平面內(nèi)的矩形各點(diǎn)的連線(xiàn)中，不相鄰的兩條線(xiàn)段的平方和相等。

規(guī)律49

平行四邊形四個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)所圍成的四邊形為矩形。

規(guī)律50

有垂直時(shí)可作垂線(xiàn)構(gòu)造矩形或平行線(xiàn)。

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