今天我們開始講因式分解。
以我對(duì)初中數(shù)學(xué)的理解，因式分解學(xué)通了，那么整個(gè)中學(xué)階段所有的計(jì)算你都過(guò)關(guān)了，這個(gè)說(shuō)法毫不夸張——換句話說(shuō)，這是決定你計(jì)算能力巔峰的一個(gè)章節(jié)。
然而在學(xué)校里，現(xiàn)在這個(gè)內(nèi)容分配的課時(shí)和它在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位是不相稱的。所以我將用很長(zhǎng)很長(zhǎng)的篇幅來(lái)詳細(xì)講解因式分解及其延伸知識(shí)。
有人會(huì)說(shuō)是不是小題大做？
你如果仔細(xì)研究一下高考數(shù)學(xué)的大題，特別是解析幾何和函數(shù)的題目，簡(jiǎn)直就是各種因式分解的運(yùn)用，這是直接的聯(lián)系；至于間接聯(lián)系那就不勝枚舉了，甚至到了大學(xué)學(xué)高等數(shù)學(xué)的不定積分的時(shí)候，還要用因式分解來(lái)進(jìn)行裂項(xiàng)呢。
因式分解的方法有很多，最根本的就是：公式法。
多項(xiàng)式的乘法是種很有意思的運(yùn)算。除法當(dāng)然是它的逆運(yùn)算，而因式分解也可以看成是一種逆運(yùn)算。而逆運(yùn)算的重要性前面已經(jīng)講過(guò)了，這里就不再講了。
你！想！得！美！
逆運(yùn)算對(duì)于計(jì)算的檢查來(lái)說(shuō)絕對(duì)是神兵利器！用相同的方法檢查是大忌！檢查最好的辦法就是逆運(yùn)算而不是：
一！題！多！解！
重要的事情別說(shuō)三遍，三十遍賊老師都能給你念叨過(guò)去。
不是我上年紀(jì)愛嘮叨。有喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)的家長(zhǎng)知道，高手的成長(zhǎng)過(guò)程中，機(jī)械地重復(fù)一個(gè)技術(shù)動(dòng)作是再平常不過(guò)的事情，通過(guò)成千上萬(wàn)次地練習(xí)，讓肌肉產(chǎn)生記憶，動(dòng)作不會(huì)變形。
同樣的，對(duì)于重要的理念，在整個(gè)系列中我會(huì)時(shí)不時(shí)地提起，確保作為家長(zhǎng)的你把這種正確的理念傳遞給孩子。
什么？就這么點(diǎn)？
對(duì)啊，就這么點(diǎn)，歐幾里得五個(gè)公設(shè)還搞出了平面幾何呢。。。
所以不要看不起這幾個(gè)公式，組合在一起就是千變?nèi)f化——當(dāng)然，這里還有一些其他的分解技巧。
最基本的叫分組分解法。
我一直強(qiáng)調(diào)的是，任何方法、概念、定義、定理，一定要抓住其本質(zhì)。所謂的分組分解，就是指待分解的因式經(jīng)過(guò)一定的排列組合之后，可以提取出公因式來(lái)。
沒(méi)錯(cuò)，敲黑板劃重點(diǎn)：公因式。
所以，這確實(shí)是因式分解里最簡(jiǎn)單的一種——因?yàn)槟阒灰c(diǎn)笨力氣，就一定能做出來(lái)。
比如我們先來(lái)看因式分解：
只要你有把子力氣，就可以進(jìn)行多次嘗試：
這不就試出來(lái)了？
當(dāng)然，這不是我們的終極目的，我們希望的是：一次成型！
這個(gè)，有難度。
我們知道，數(shù)學(xué)難就難在你在做題目的時(shí)候是不會(huì)有這么明確的指向的。那么多技巧綜合運(yùn)用，我怎么知道該用哪種方法，該怎么分組？！
問(wèn)題是你連簡(jiǎn)單的都沒(méi)練好，怎么可能復(fù)雜的能看穿呢？
就分組分解法來(lái)說(shuō)，或者再具體一點(diǎn)，就上面這個(gè)例子，我們看到這個(gè)式子里有兩個(gè)字母，所以如果你把所有的字母都岔開，分成的組各包含一個(gè)字母，就像題目本身那樣，這個(gè)一定是錯(cuò)誤的分解方式——一組只包含字母a，一組只包含字母b，公因式？連字母公用都做不到。
第二，次數(shù)相同的盡量在一起。對(duì)于高次的多項(xiàng)式，我們有平方差立方差，立方和等等公式——前提是大家次數(shù)是相同的項(xiàng)湊在一起，即所謂的齊次多項(xiàng)式。我們所有的公式里是沒(méi)有高低次冪混搭在一起走波西米亞風(fēng)的，一定是整整齊齊的。
有了這兩條，直接就能把正確的分組情況給寫出來(lái)了。
我們?cè)賮?lái)看一個(gè)。
按照之前所講的辦法，首先把字母岔開，然后齊次項(xiàng)。。。
等等，這個(gè)就是齊次多項(xiàng)式啊？！
這就是傳說(shuō)中的稍微變一變就束手無(wú)策？
齊次多項(xiàng)式不假，這個(gè)時(shí)候我們還有個(gè)對(duì)稱性的想法，總是和考慮的嘛：
原式
剩下的就好辦了。
最后再來(lái)一個(gè)帶著化歸的分組分解：
既然叫分組分解，那么這個(gè)時(shí)候又該怎么辦呢？
這個(gè)時(shí)候好像前面講的又用不上了。。。
數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)就是這么尷尬。那這個(gè)時(shí)候該怎么辦？
想想自己手上有什么�。ㄗ�?jǐn)?shù)太多打感嘆號(hào)太累了）
既然這個(gè)多項(xiàng)式一個(gè)減號(hào)都沒(méi)有，那么我們的公式可用范圍立馬縮小了；而且這個(gè)多項(xiàng)式是二次的，那么所有立方的公式也用不了了；于是只剩下和的平方的公式了。
是不是很合理？
然而和的平方的公式只有三項(xiàng)啊！而且只有兩個(gè)字母啊！
那就先挑出三項(xiàng)只有兩個(gè)字母滿足和的平方的公式再說(shuō)啊，我們把式子改寫成：
先把前三項(xiàng)用起來(lái)：
我們發(fā)現(xiàn)，中間兩項(xiàng)又有公因式了。什么？為什么不用最后兩項(xiàng)？
不對(duì)稱，看了難受。。。
這個(gè)時(shí)候，答案呼之欲出了，把x+y當(dāng)成一個(gè)整體之后，這又可以走一波和的平方的公式了！
家長(zhǎng)在指導(dǎo)分組分解的時(shí)候，一定要注意幾個(gè)原則：字母岔開、對(duì)稱、手上的工具！
不要光說(shuō)多試試，再看看。要明確告訴孩子怎么試，怎么看。哪怕是沒(méi)有頭緒地進(jìn)行嘗試，也要讓孩子有順序地試，就像
的分解過(guò)程那樣嘗試，保留所有嘗試的記錄，不要重復(fù)嘗試，也不要遺漏。
賊老師，怎么又是不重復(fù)，不遺漏？
你，上道了。
歡迎使用手機(jī)、平板等移動(dòng)設(shè)備訪問(wèn)中考網(wǎng)，2025中考一路陪伴同行！>>點(diǎn)擊查看
