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來(lái)源：初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽 2005-09-09 16:10:46
勾股定理 直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即
a2+b2=c2．
勾股定理逆定理 如果三角形三邊長(zhǎng)a，b，c有下面關(guān)系：
a2+b2=c2
那么這個(gè)三角形是直角三角形．
早在3000年前，我國(guó)已有“勾廣三，股修四，徑陽(yáng)五”的說(shuō)法．
關(guān)于勾股定理，有很多證法，在我國(guó)它們都是用拼圖形面積方法來(lái)證明的．下面的證法1是歐幾里得證法．
證法1 如圖2-16所示．在Rt△ABC的外側(cè)，以各邊為邊長(zhǎng)分別作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它們的面積分別是c2，a2，b2．下面證明，大正方形的面積等于兩個(gè)小正方形的面積之和．
過(guò)C引CM∥BD，交AB于L，連接BG，CE．因?yàn)?/FONT>
AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，
所以△ACE≌△AGB(SAS)．而
所以 SAEML=b2． ①
同理可證 SBLMD=a2． ②
①+②得
SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，
即 c2=a2+b2．
證法2 如圖2-17所示．將Rt△ABC的兩條直角邊CA，CB分別延長(zhǎng)到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的邊長(zhǎng)為a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，連接AG，GH，HB．由作圖易知
△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，
所以
AG=GH=HB=AB=c，
∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，
因此，AGHB為邊長(zhǎng)是c的正方形．顯然，正方形CDEF的面積等于正方形AGHB的面積與四個(gè)全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面積和，即
化簡(jiǎn)得 a2+b2=c2．
證法3 如圖2-18．在直角三角形ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，延長(zhǎng)CB，自E作EG⊥CB延長(zhǎng)線于G，自D作DK⊥CB延長(zhǎng)線于K，又作AF， DH分別垂直EG于F，H．由作圖不難證明，下述各直角三角形均與Rt△ABC全等：
△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．
設(shè)五邊形ACKDE的面積為S，一方面
S=SABDE+2S△ABC， ①
另一方面
S=SACGF+SHGKD+2S△ABC． ②
由①，②
所以 c2=a2+b2．
關(guān)于勾股定理，在我國(guó)古代還有很多類似上述拼圖求積的證明方法，我們將在習(xí)題中展示其中一小部分，它們都以中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的名字命名．
利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一個(gè)更一般的結(jié)論．
定理 在三角形中，銳角(或鈍角)所對(duì)的邊的平方等于另外兩邊的平方和，減去(或加上)這兩邊中的一邊與另一邊在這邊(或其延長(zhǎng)線)上的射影的乘積的2倍．
證 (1)設(shè)角C為銳角，如圖2-19所示．作AD⊥BC于D， 則CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，
AB2=AD2+BD2， ①
在直角三角形ACD中，
AD2=AC2-CD2， ②
又
BD2=(BC-CD)2， ③
�、冢鄞擘俚�
AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2
=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC?CD
=AC2+BC2-2BC?CD，
即
c2=a2+b2-2a?CD． ④
(2)設(shè)角C為鈍角，如圖2-20所示．過(guò)A作AD與BC延長(zhǎng)線垂直于D，則CD就是AC在BC(延長(zhǎng)線)上的射影．在直角三角形ABD中，
AB2=AD2+BD2， ⑤
在直角三角形ACD中，
AD2=AC2-CD2， ⑥
又
BD2=(BC+CD)2， ⑦
將⑥，⑦代入⑤得
AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2
=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC?CD
=AC2+BC2+2BC?CD，
即
c2=a2+b2+2a?cd． ⑧
綜合④，⑧就是我們所需要的結(jié)論
特別地，當(dāng)∠C=90°時(shí)，CD=0，上述結(jié)論正是勾股定理的表述：
c2=a2+b2．
因此，我們常又稱此定理為廣勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推廣)．
由廣勾股定理我們可以自然地推導(dǎo)出三角形三邊關(guān)系對(duì)于角的影響．在△ABC中，
(1)若c2=a2+b2，則∠C=90°；
(2)若c2＜a2+b2，則∠C＜90°；
(3)若c2＞a2+b2，則∠C＞90°．
勾股定理及廣勾股定理深刻地揭示了三角形內(nèi)部的邊角關(guān)系，因此在解決三角形(及多邊形)的問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用．
例1 如圖2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求證：AB2=2FG2．
分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，從而有AF2=2FG2，因而應(yīng)有AF=AB，這啟發(fā)我們?nèi)プC明△ABE≌△AFE．
證 因?yàn)?/FONT>AE是∠FAB的平分線，EF⊥AF，又AE是△AFE與△ABE的公共邊，所以
Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，
所以 AF=AB． ①
在Rt△AGF中，因?yàn)椤?/FONT>FAG=45°，所以
AG=FG，
AF2=AG2+FG2=2FG2． ②
由①，②得
AB2=2FG2．
說(shuō)明 事實(shí)上，在審題中，條件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”應(yīng)使我們意識(shí)到兩個(gè)直角三角形△AFE與△ABE全等，從而將AB“過(guò)渡”到AF，使AF(即AB)與FG處于同一個(gè)直角三角形中，可以利用勾股定理進(jìn)行證明了．
例2 如圖2-22所示．AM是△ABC的BC邊上的中線，求證：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．
證 過(guò)A引AD⊥BC于D(不妨設(shè)D落在邊BC內(nèi))．由廣勾股定理，在△ABM中，
AB2=AM2+BM2+2BM?MD． ①
在△ACM中，
AC2=AM2+MC2-2MC?MD． ②
①+②，并注意到MB=MC，所以
AB2+AC2=2(AM2+BM2)． ③
如果設(shè)△ABC三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，它們對(duì)應(yīng)邊上的中線長(zhǎng)分別為ma，mb，mc，由上述結(jié)論不難推出關(guān)于三角形三條中線長(zhǎng)的公式．
推論 △ABC的中線長(zhǎng)公式：
說(shuō)明 三角形的中線將三角形分為兩個(gè)三角形，其中一個(gè)是銳角三角形，另一個(gè)是鈍角三角形(除等腰三角形外)．利用廣勾股定理恰好消去相反項(xiàng)，獲得中線公式．①′，②′，③′中的ma，mb，mc分別表示a，b，c邊上的中線長(zhǎng)．
例3 如圖2-23所示．求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對(duì)角線的平方和加對(duì)角線中點(diǎn)連線平方的4倍．
分析 如圖2-23所示．對(duì)角線中點(diǎn)連線PQ，可看作△BDQ的中線，利用例2的結(jié)論，不難證明本題．
證 設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線AC，BD中點(diǎn)分別是Q，P．由例2，在△BDQ中，
即
2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2． ①
在△ABC中，BQ是AC邊上的中線，所以
在△ACD中，QD是AC邊上的中線，所以
將②，③代入①得
=4PQ2+BD2，
即
AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2．
說(shuō)明 本題是例2的應(yīng)用．善于將要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題，是人們解決問(wèn)題的一種基本方法，即化未知為已知的方法．下面，我們?cè)倏磧蓚�(gè)例題，說(shuō)明這種轉(zhuǎn)化方法的應(yīng)用．
例4 如圖2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分別是BC，AC上的任意一點(diǎn)．求證：AD2+BE2=AB2+DE2．
分析 求證中所述的4條線段分別是4個(gè)直角三角形的斜邊，因此考慮從勾股定理入手．
證 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以
AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2
例5 求證：在直角三角形中兩條直角邊上的中線的平方和的4倍等于斜邊平方的5倍．
如圖2-25所示．設(shè)直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分別是BC，AC邊上的中線．求證：
4(AM2+BN2)=5AB2．
分析 由于AM，BN，AB均可看作某個(gè)直角三角形的斜邊，因此，仿例4的方法可從勾股定理入手，但如果我們能將本題看成例4的特殊情況――即M，N分別是所在邊的中點(diǎn)，那么可直接利用例4的結(jié)論，使證明過(guò)程十分簡(jiǎn)潔．
證 連接MN，利用例4的結(jié)論，我們有
AM2+BN2=AB2+MN2，
所以 4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2． ①
由于M，N是BC，AC的中點(diǎn)，所以
所以 4MN2=AB2． ②
由①，②
4(AM2+BN2)=5AB2．
說(shuō)明 在證明中，線段MN稱為△ABC的中位線，以后會(huì)知道中位線的基本性質(zhì)：“MN∥AB且MN=圖2-26所示．MN是△ABC的一條中位線，設(shè)△ABC的面積為S．由于M，N分別是所在邊的中點(diǎn)，所以S△ACM=S△BCN，兩邊減去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，從而AB必與MN平行．又S△ABM=
高相同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN．
練習(xí)十一
1．用下面各圖驗(yàn)證勾股定理(虛線代表輔助線)：
(1)趙君卿圖(圖2-27)；
(2)項(xiàng)名達(dá)圖(2-28)；
(3)楊作枚圖(圖2-29)．
2．已知矩形ABCD，P為矩形所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，求證：PA2+PC2=PB2+PD2．
(提示：應(yīng)分三種情形加以討論，P在矩形內(nèi)、P在矩形上、P在矩形外，均有這個(gè)結(jié)論．)
3．由△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)O向三邊BC，CA，AB分別作垂線，垂足分別是D，E，F．求證：
AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．
4．如圖2-30所示．在四邊形ADBC中，對(duì)角線AB⊥CD．求證：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？證明你的結(jié)論．
5．如圖2-31所示．從銳角三角形ABC的頂點(diǎn)B，C分別向?qū)呑鞔咕�BE，CF．求證：
BC2=AB?BF+AC?CE．
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